원주율에 대한 무한곱 문제가 아닙니다. (관련은 있습니다.)

문제.
\int_{0}^{\infty}\frac{d x}{(x^2 +1)^{m+1}} = \frac{\pi}{2^{2m+1}}\binom{2m}{m} 를 보이시오.


먼저 양의 실수에서 정의된 함수
I_m(t) = \int_{0}^{\infty}\frac{d x}{(x^2 +t)^{m+1}} 를 생각하자. 우리가 원하는 적분은 I_m(1)와 같다.

I_m'(t) = -(m+1) \int_{0}^{\infty}\frac{d x}{(x^2 +t)^{m+2}} = -(m+1) I_{m+1}(t)이다. 그리고
I_0(t) = \frac{\pi}{2\sqrt{t}} 이다. 여기에서 I_1(t) = \frac{\pi}{4t\sqrt{t}}, I_2(t) = \frac{3\pi}{16 t^2 \sqrt{t}}, …… 를 계산할 수 있다. 이 계수들을 계산하는 간단한 규칙들을 찾을 수 있다.
이 계수들, 즉 C_m = t^{(2m+1)/2}I_m(t)는 점화식 C_{m+1} = \frac{2m+1}{2m+2}C_m을 만족시킨다. 그러므로,
C_m = \frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdot \cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}

= \frac{2m}{2m}\cdot\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-2}{2m-2}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdot\cdots \cdot \frac{2}{2}\cdot\frac{1}{1}\cdot \frac{\pi}{2}

= \frac{(2m)!}{2^{2m+1}(m!)^2}\pi = \frac{\pi}{2^{2m+1}}\binom{2m}{m} 이다. I_m(1) = C_m이므로, 우리는 원하는 결과를 얻었다.


Irresistible Integral 이라는 책에 그대로 있는 예제를 올려 봅니다. t를 사용해서 더 일반적인 문제로 만든 것이 문제를 쉽게 풀 수 있게 만들었습니다. (t에 대한 미분을 할 수 있는 등...)

사실 x= \tan\theta를 치환해서, 부분적분 한번 하는게 훨씬 쉽습니다. (...) 이 과정 중에 \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2m}\theta d\theta 의 적분이 등장하는데, 2m을 m으로 바꾼 것이, \pi를 구하는 Wallis Product 에서 다시 등장합니다.

이 글에서 다루려고 하진 않았지만 살짝 Wallis' Product에 대해서도 다루어 보면, W_n = \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}\theta d\theta으로 두고, W_n이 수렴함을 보인 후에(단조감소하는 양수수열임을 보이면 됩니다), 위와 비슷하게 n W_n = (n-1)W_{n-2}임을 가지고, n이 짝수일 때와 홀수일 때를 각각 계산한 후에, 수열 \frac{W_{2n}}{W_{2n+1}}이 1로 수렴함을 이용하면, Wallis' Product에 대한 식도 얻을 수 있습니다.
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Posted by 애기_똥풀

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  1. 질문있습니다!! 2012.08.31 19:17 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    입실론-델타를 이용해 극한값이 맞다는 건 그럭저럭 증명하겠는데, 어떤 값이 극한값이 아니란 건 어떻게 증명해야할까요??

    예를들어주시면 감사하겠습니다.

    lim 2x = 5(x->2)

    극한갑이 5가 아니란 걸 어떻게 증명할 수 있을까요?(뭐, 물로 4가 극한값이란 걸 보이면 가능이야 하겠지만^^*... 그런거 말고 왜 5가 답이 아닌지를 직접 증명할 순 없을까요??)

    • Favicon of http://wiessen.tistory.com 애기_똥풀 2012.09.12 14:52 신고  댓글주소  수정/삭제

      정의에 따라서, "임의의 ε>0에 대해서, δ가 존재해서, 0<|x -2|<δ 이면 |2x - 5| < ε 를 만족시킨다" 가 거짓이면 되는 것이지요? 적어도 하나의 ε이 존재해서, 극한의 정의를 만족시키지 않는다 는 것을 보이면 됩니다.
      ε 을 1/2 로 잡아 볼까요? |2x - 5| <1/2 을 만족시키는 x의 범위는 2.25 < x < 2.75 인데, 0<|x -2|<δ 꼴의 집합이 (2.25 , 2.75) 의 부분집합이 될 수는 없지요. δ가 무엇이든지 간에요.

  2. GeFoed 2015.10.30 20:02 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    精准医疗又叫个性化医疗,是指以个人基因组信息为基础,结合蛋白质组,代谢组等相关内环境信息,为病人量身设计出最佳治疗方案,以期达到治疗效果最大化和副作用最小化的一门定制医疗模式。因此相较传统医疗,精准医疗具有针对性、高效性及预防性等特征。

    美国医学界在2011年首次提出了“精准医学”的概念,今年1月20日,奥巴马又在美国国情咨文中提出“精准医学计划”,希望精准医学可以引领一个医学新时代。10月8日,2015全球创新论坛纽约峰会在纽约穆迪总部大楼举办。乐土投资集团CEO刘如银在峰会上介绍了他的精准医疗生态圈的想法。

    刘如银介绍了乐土投资在美国的国际化实践,包括在美国的地产投资拓展,以及最新投资的医疗健康项目。乐土投资集团(CLIG)定位以硅谷的高科技投资为引擎,以科技医疗和互联网金融为两翼,链接最具价值的深科技健康项目,服务国际大健康和科技发展。

    美国财政预算计划在2016年拨付给美国国立卫生研究院(NIH)、美国食品药品监督管理局(FDA)、美国国家医疗信息技术协调办公室(ONC)等机构共2.15亿美元用于资助这方面的科学研究与创新发展。

    刘如银说:美国的精准医疗主要是围绕着基因组、蛋白组等方面的检测,也就是围绕分子生物学的特性,针对个体化的病理特征进行治疗。而我们所关注的不仅如此,更是系统化的,全过程、全要素、全局性的对医疗过程和临床实践进行优化。我们所指的精准医疗也是针对每一个病人的具体病情,正确选择并精确的应用适当的治疗方法。刘如银认为:精准医疗的最终目标是以最小化的医源性损害、最低化的医疗资源耗费去获得最大化的病患的效益,其前景不可限量。

    精准医疗要做到个性、高效及预防的关键在于筛查和诊断,因此基因测序等检测诊断技术的发展是关键。成本的下降让基因测序商业化市场的打开成为可能,基因测序技术的成熟和商用经过了多年的发展,1980 年自动测序仪出现,2001 年完成了人类基因组框架图标志着这一技术的成熟,2007 年二代基因测序技术大幅降低测序成本,使得这一技术应用出现可能,以走在前列的Illumina 公司为例,该公司自2007 年起把当时每个基因组的测序成本费用从1000万美元降到了当下的1000 美元, 根据Illumina 公司数据,全球NGS(二代基因测序)的应用市场规模预计为200 亿美元,药品研发和临床应用是增速最快的领域,增速超过15%,肿瘤诊断和个性化用药是最有应用前景的领域,市场规模120亿美元。乐土投资与Illumina以及新一代的基因检测公司Genalyte, Centrillion都有着合作关系。

    刘如银说:精准医疗作为医疗模式的革新对提高我国国民健康水平有重要意义,将在基因测序技术发展和国家政策的推动下迎来黄金发展期。精准治疗是下一个新兴朝阳行业,我们关注基因测序、肿瘤诊断及个性化用药等相关投资机会。

    全球创新论坛纽约峰会由全美华人金融协会(The Chinese Finance Association, TCFA) 主办。全美华人金融协会于一九九四年在美国成立。分布在世界各地的会员来自华尔街投行、基金、监管部门、和学术界,已成为联系中美金融界最重要的桥梁之一。协会定期举行学术年会。协会本部设在纽约,并在波士顿,华盛顿,旧金山,伦敦,香港,北京和上海等金融中心设有分会。

    原招商银行行长马蔚华,中信银行美国分行行长文兵,汉世纪投资管理有限公司合伙人吴皓,联合国南南合作办首席经济与投资专家杨庆宏等参加了本年度会议并发表了讲话。



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