이 글은 계속 추가해 갈 글입니다.
중요한 상수인 자연상수e 에 대해서, 관련 내용을 모아서 이것저것 다룰 글을 계획하고 있습니다.
역시 카테고리에 맞추어서, 대학 입시에 도움이 될 내용 위주로 다루겠습니다.
오늘은 일단 가벼운 증명 문제 하나만 풉시다.
아래 문제에 주어진 e 의 정의가, 사실 실제로 통용되는 e 의 정의는 아닙니다. 통상적인 e 의 정의는 \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + 1/n)^n 의 극한으로 주어지는데, 위의 정의와 아래 문제에서 말하는 숫자 e의 정의가 같음을 보일 수 있습니다.
이 글에 살을 붙여 정리하게 되면, 이 글은 정의부터 시작해서 여러 정리와 성질을 증명하는 체계적인 글이 되겠지만, 일단은 이 정도를 언급하는 것으로 합시다. 물론 글이 체계가 잡히면 이 자질구레한 서문도 없어집니다.
e는 무리수이다 e 는 e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} 로 주어지는 실수이다.
(1) e 가 수렴함을 보여라.
(2) e 가 무리수임을 보여라.
(1) 의 풀이 보기
2! = 2 \cdot 1
3! = 3 \cdot 2
4! > 4 \cdot 3
5! > 5 \cdot 4
6! > 6 \cdot 5
\vdots 해서, (n>3) 이면 n! > n \cdot (n-1) 이므로 \frac{1}{n!} <\frac{1}{n (n-1)}
그러므로, \sum_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{i!} < \sum_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{i(i-1)} = \sum_{i = 2}^{\infty}\big( \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}\big) = 1 이므로, e =1 + 1 +\sum_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{i!} <3 을 얻는다. \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} 는 위로 유계이고 각 항이 양수인 수열의 합이므로, 부분합은 유계인 증가 수열이 되어 수렴한다.
(2) 의 풀이 보기
\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} = \frac{q}{p} 라고 가정해서 모순을 보이자. (귀류법)
여기서 p 와 q 는 서로소인 자연수이다.
우선 2 < e < 3 이므로 e 는 정수가 아니고, 그러므로 p > 1 이다.
\frac{q}{p} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(p-1)!}+ \frac{1}{p!} + \frac{1}{(p+1)!} + \frac{1}{(p+2)!} + \cdots 이다.
양변에 p! 를 곱해서 정리하면 다음과 같다. q (p-1)! = (p! + \cdots + p(p-1) + p + 1 ) + \frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} + \frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)} + \cdots
여기서 좌변은 자연수이고, 우변의 괄호 안의 수는 자연수이다. 그러므로 남은 부분도 정수여야 한다. (사실은 양수의 합이므로, 자연수여야 한다.) 그런데 아까와 같이 생각하면, 다음 부등식을 얻는다. \frac{1}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} + \frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)} + \cdots < \frac{1}{p+1} +\frac{1}{(p+1)(p+2)} + \frac{1}{(p+2)(p+3)} + \frac{1}{(p+3)(p+4)} + \cdots = \frac{2}{p+1} < 1
그런데 자연수는 항상 1 보다 크기 때문에 모순.
