방정식
eq=1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + x^2 = y^2
의 자연수해를 모두 찾아라.



당연한 해(trivial solution) eq=x=y=1 를 제외하고도 다른 답이 존재합니다. 힌트를 좀 더 드리자면 답은 단 두 쌍.

혹시, 답과 풀이를 제시할 수 있는 분?
제 블로그 방문자 중에는, 혹시 있을지도 모르겠네요.
Posted by 애기_똥풀

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  1. Favicon of http://silverfall.tistory.com 은늑대 2009.01.08 15:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그냥 시그마 적어놓고 "답이야!" 라고 하고싶은 욕구,

  2. 호떡 2009.01.08 15:36  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    x=0
    y=1

    ..............................

    정수해 맞잖아요(...)

    • 호떡 2009.01.08 15:40  댓글주소  수정/삭제

      근데 생각해보면 이런 문제의 답은 대개 0,1 이 둘 사이에서 한정되지 않나요?

    • Favicon of https://wiessen.tistory.com 애기_똥풀 2009.01.08 16:03 신고  댓글주소  수정/삭제

      (...)
      우선 그건 답이 아닐 뿐더러, …

      에휴, 자연수 해라고 하죠. 그리고 0, 1, 2 같은 숫자가 답이면 애초에 포스팅을 할 리가(...)

  3. 휘모리 2009.01.08 15:59  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    무슨 말이지? trivial solution 말고 다른 해가 하나만 더 존재한다는 건가??

  4. 뽀복이 2009.01.08 20:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    중등수학으로도 풀 수 있나요?

    참고로 인터넷 검색하니까 값은 나오네요. 그런데 그 값이 좀 애매모호한듯 (......)

  5. Favicon of http://ggomjirak.tistory.com 꼼지락 2009.01.09 01:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    답은 (24, 70)

    python 코드입니다.

    import math

    def sqSigma(n):
    (들여쓰기)return math.sqrt( n*(n+1)*(2*n + 1) / 6.0 )

    n = 2
    while sqSigma(n) != int( sqSigma(n) ) :
    (들여쓰기)n = n + 1
    print n, sqSigma(n)


    실행결과
    24, 70.0

    이렇게 되네요...
    요즘 http://projecteuler.net/ 에서 계속 놀다보니, 저도모르게 코드를 짜게되네요.
    출제 의도와 전혀 빗나간 풀이겠죠?;;
    원래는 손으로 풀텐데, 직관을 사용하지 않고 풀수있는 풀이가 존재하는 것인가요?

    그리고 문장시작을 띄어쓰기나 탭으로 하는 것이 불가능해서 (들여쓰기)라고 써놨습니다;;

    • Favicon of https://wiessen.tistory.com 애기_똥풀 2009.01.09 11:11 신고  댓글주소  수정/삭제

      음, 저도 자바로 비슷하게 짜 봤어요 '-'
      출제 의도(?)와는 빗나갔지만.

      네, 직관을 사용하지 않는 풀이가 존재합니다.

      요즘 저도 거기서 놀고 있습니다. 프로그래밍 연습하는 느낌으로.

  6. Favicon of https://ggomjirak.tistory.com 꼼지락 2009.01.12 02:24 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    n , (n+1) , (2*n + 1) 셋이 모두 서로소라는 것까지는 유클리드 호제법을 이용해 알겠는데...ㅠ 더이상 진척이 없네요.

  7. Favicon of https://kevin0960.tistory.com Psi 2009.08.24 23:52 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    풀긴 풀었는데 풀이가 너무 허접하리 간단하게 올리죠.. (올려도 되나요?)

    자명하게 x, x+1, 2x+1 은 쌍쌍이 서로소.
    이 때, x 가 mod 6 에 대해 어떤 경우라도 성립하지 않음을 보이자. (참고로 서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 자명하게 이용)
    x ≡ 2, -2 (mod 6) -> 계산해 보면 각각 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y² 과 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y² 이 나오는데 이 두 경우 모두 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.

    마찬가지로 x ≡ 3, -1 (mod 6) 일 때 에도 계산해 보면 각각 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y² 과 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y² 이 나오는데 이 경우도 마찬가지로 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다. 다음 댓글로....

  8. Favicon of https://kevin0960.tistory.com Psi 2009.08.25 00:03 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 되는데 0 일 때 만 보이면 1 일 때 에도 자명하게 되므로 0 일 때만 보이도록 하겠다. 식에 대입하면
    t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다. 우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. -> ([√2 * p])² < 2p² - 1 ( 단순히 생각해 보면 자명하게 맞음...) 또한, [X] > X - 1 임을 이용하면
    ([√2 p] + 1)² > 2p² -1 이다. 따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.. 따라서 p 는 6 이하가 된다. 이 때 대입해 보면 p 가 2 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.
    마찬가지로 x ≡ 3 (mod 6) 일 때 에도 해보면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y² 이 나오는데 3t + 1 을 p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다. 따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

    P.S - 올림피아드 공부를 열심히 한 중학생 -

    • Favicon of http://bomber0.byus.net 피타고라스 2009.10.17 07:27  댓글주소  수정/삭제

      p 가 7 이상이면 ([√2 p])² < 2p² - 1이 성립한다는 주장에 대한 반례
      p=29 인 경우, [√2 p]=41, 41^2=2*29^2-1=1681)
      루트2를 연분수로 전개해서 나타나는 수를 가지고 생각하면 반례를 많이 찾을 수 있음.

    • Favicon of https://kevin0960.tistory.com Psi 2009.12.10 22:21 신고  댓글주소  수정/삭제

      혹시 루트 2 의 연분수 전개된 수의 특징을 알 수 있을까요?
      그것만 이용하면 위 풀이를 잘 수정할 수 있을 텐데 말이죠;; ([√2 * p])² = 2p² - 1 와 q² = 2p² - 1 를 동시에 만족하는 수가 없다는 사실만 보이면 되겠죠. 그런데, 제가 구해본 바로는 q² = 2p² - 1 를 만족하는 해는 무조건 다음의 꼴을 따라간다는 사실을 알 수 있었습니다:

      q² = 2p² - 1 를 만족하는 해 들을 나열한 수열을 생각할 때 a_{i+2} = 6a_{i+1} - a_i, a_1 = 1

      아무튼 이 특징만 잘 활용하고, 루트2의 연분수로 전개한 수들의 조건을 활용하면 제 풀이를 적당히 고칠 수 있을것 같애요.

    • Favicon of https://wiessen.tistory.com 애기_똥풀 2009.12.11 10:09 신고  댓글주소  수정/삭제

      1, [2] 와 같이 나타나네요.

      http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html 에서 확인할 수 있습니다.

  9. Favicon of https://kevin0960.tistory.com Psi 2009.08.25 17:13 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    참고로 말하자면 풀이에 k 가 불쑥 등장하는데 이는 x ≡ 3 (mod 6) 이라면 x = 6k + 3 과 같이 한 것 입니다~